山西北师版七下期末压轴汇总——陈进步讲数学_在线真题试卷与模拟练习_山西北师版七下期末压轴汇总——陈进步讲数学_考试宝

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（2025春·昔阳县期末）如图，$$\triangle ABC\cong\triangle DEC$$，$$\angle ABC=90^{\circ}$$，$$\angle ABC$$的平分线过点$$E$$，与$$AD$$交于点$$M$$．若$$BM=BA$$，则$$\angle EDC$$的度数为__________°．（含图）

（2025春·介休市期末）如图，$$\triangle ABC$$中，$$AD$$、$$AE$$分别为角平分线和高，$$\angle B=46^{\circ}$$，$$\angle C=64^{\circ}$$，则$$\angle DAE=$$__________．（含图）

（2025春·左权县期末）如图等腰三角形$$ABC$$的底边$$BC$$长为6，面积是24，腰$$AB$$的垂直平分线$$EF$$分别交$$AB$$，$$AC$$于点$$E$$，$$F$$，若点$$D$$为底边$$BC$$的中点，点$$M$$为线段$$EF$$上一动点，则$$\triangle BDM$$的周长的最小值为__________．（含图）

（2024春·晋中期末）如图，在$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC$$，$$BC=10$$，且$$S_{\triangle ABC}=60$$，现将其沿$$MN$$折叠后，点$$A$$恰好与点$$C$$重合，若点$$D$$是折痕$$MN$$上的一点，点$$O$$是$$BC$$的中点，连接$$OD$$，$$CD$$．则$$\triangle COD$$周长的最小值是__________．（含图）

（2025春·福田区校级期末）如图，在Rt$$\triangle ABC$$中，$$\angle ABC=90^{\circ}$$，过$$B$$作$$BM\perp AC$$于点$$M$$，点$$N$$为$$AC$$边上一点，点$$P$$为$$BC$$边中点，连接$$BN$$，$$PN$$，若$$\angle MBA=\angle MBN$$，$$\angle CNP=45^{\circ}$$，则$$\frac{MN}{CN}=$$__________．【缺少答案，请补充】（含图）

如图1，当直线$$l$$经过点$$A$$时，点$$Q$$恰好落在$$AC$$边上，连接$$PQ$$，交直线$$l$$于点$$O$$．猜想此时$$PQ$$与$$BC$$的位置关系，并说明理由；【缺少答案，请补充】（含图）

如图2，当直线$$l$$与线段$$AP$$交于点$$E$$（不与$$A$$，$$P$$重合）时，点$$Q$$落在$$\triangle ABC$$内部，连接$$EQ$$并延长交线段$$BC$$于点$$G$$，连接$$PQ$$并延长，交直线$$l$$于点$$O$$，交线段$$AC$$于点$$F$$，连接$$FG$$．猜想此时$$QF$$与$$GC$$的数量关系，并说明理由；【缺少答案，请补充】（含图）

若直线$$l$$与线段$$PA$$的延长线交于点$$E$$，连接$$EQ$$并延长交射线$$BC$$于点$$G$$，连接$$PQ$$交线段$$AC$$于点$$F$$．请借助备用图探究线段$$BD$$，$$CD$$，$$PQ$$之间的数量关系（直接写出结论即可）．【缺少答案，请补充】（含图）

勤学小组将它们按照图2的方式摆放，$$A$$，$$E$$，$$D$$三点在同一直线上，此时点$$E$$与点$$M$$重合，同学们发现点$$M$$恰好是线段$$AD$$的中点，请你说明理由；【缺少答案，请补充】（含图）

善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，点$$M$$仍为线段$$AD$$的中点，小明写出了他的思路：如图3，以点$$D$$为圆心，$$DE$$的长为半径作弧交射线$$BE$$于点$$G$$，则$$DG=DE$$，……，请你按照小明的思路说明点$$M$$是线段$$AD$$的中点；（含图）

智慧小组继续改变$$\triangle DEC$$的位置进行探究，且点$$E$$始终在直线$$BC$$的上方．若$$\angle BAC=35^{\circ}$$，当$$\triangle ABM$$是等腰三角形时，请直接写出$$\angle ABM$$的度数．【缺少答案，请补充】（含图）（含图）

问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形和平行线为背景展开探究．如图1，在$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC$$，$$AD$$是$$BC$$边上的中线，过点$$A$$作$$BC$$的平行线$$l$$．独立思考：（1）在图1中的直线$$l$$上取点$$E$$（点$$E$$在点$$A$$左侧），使$$AE=BD$$，连接$$DE$$交$$AB$$于点$$F$$，得到图2．试判断$$EF$$与$$DF$$的数量关系，并说明理由；（2）在图1中的直线$$l$$上取点$$G$$，$$H$$（点$$G$$，$$H$$分别在点$$A$$的两侧），使$$AG=AH$$，连接$$DG$$交$$AB$$于点$$M$$，连接$$DH$$交$$AC$$于点$$N$$，得到图3．小宇发现$$GM=HN$$，请你帮她说明理由；合作交流：（3）同学们在图3的基础上展开了更深入的探究．若$$\angle BAC=40^{\circ}$$，当$$\triangle AGM$$是等腰三角形时，直接写出$$\angle GDH$$的度数．【缺少答案，请补充】（含图）（含图）（含图）

问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的数量关系．已知：在Rt$$\triangle ABC$$中，$$AC=BC$$，$$\angle ACB=90^{\circ}$$，$$D$$是射线$$CB$$上的一个动点，连接$$AD$$，过点$$C$$作$$AD$$的垂线，垂足为点$$E$$，过点$$B$$作$$AC$$的平行线交$$CE$$的延长线于点$$F$$．独立思考：（1）如图1，当点$$D$$与点$$B$$重合时，小颖发现$$BF=AC$$，请你帮她说明理由；（2）如图2，当点$$D$$为$$BC$$中点时，直接写出线段$$BF$$与$$AC$$的数量关系；合作交流：（3）完成上述两个问题之后，同学们展开更深入的探究．请从A、B两题中任选一题作答．我选择______题： A．如图3，当点$$D$$在线段$$CB$$上（不与$$C$$、$$B$$重合），请探究线段$$BF$$、$$BD$$与$$AC$$之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）； B．如图4，当点$$D$$在线段$$CB$$延长线上，请探究线段$$BF$$、$$BD$$与$$AC$$之间的数量关系（要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由）．（含图）（含图）（含图）（含图）

（2020春·太原期末）综合与探究在数学综合实践课上，老师让同学用两张全等的等腰三角形纸片进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系．如图1，$$\triangle ABC\cong \triangle DEF$$，$$AB=AC$$，$$DE=DF$$． [探究一] （1）勤奋小组的同学把这两张纸片按如图2的方式摆放，点A与点D重合，连接BE和CF．他们发现BE与CF之间存在着一定的数量关系，这个关系是______． [探究二]（2）创新小组的同学在勤奋小组的启发下，把这两张纸片按如图3的方式摆放，点F，A，D，C在同一直线上，连接BF和CE，他们发现了BF和CE之间的数量和位置关系，请写出这些关系并说明理由； [探究三]（3）从A，B两题中任选一题作答．解答时用尺规作$$\triangle DEF$$，不写作法，保留作图痕迹． A．如图4，利用$$\triangle ABC$$纸片拼摆出一种与图2和图3都不相同的图形，并根据图形写出一个数学结论． B．如图4，利用$$\triangle ABC$$纸片拼摆出一种与图2和图3都不相同的图形，并根据图形提出一个数学问题并解答．（含图）

（2019春·太原期末）数学课上老师让同学利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系问题情境：如图1，三角形纸片$$ABC$$中，$$\angle ACB=90^\circ$$，$$AC=BC$$，将点C放在直线$$l$$上，点A，B位于直线$$l$$的同侧，过点A作$$AD\perp l$$于点D．初步探究（1）在图1的直线$$l$$上取点E，使得$$BE=BC$$得到图2，猜想线段$$CE$$与$$AD$$的数量关系，并说明理由；变式拓展：（2）小颖又拿了一张三角形纸片$$MPN$$继续进行拼图操作，其中$$\angle MPN=90^\circ$$，$$MP=NP$$，小颖在图1的基础上．将三角形纸片$$MPN$$的顶点P放在直线$$l$$上，点M与B重合，过点N作$$NH\perp l$$于点H．请从下面AB两题中任选一题作答，我选择______题 A．如图3，当点N与点M在直线$$l$$的异侧时，探究此时线段$$CP$$，$$AD$$，$$NH$$之间的数量关系，并说明理由． B．如图4，当点N与点M在直线$$l$$的同侧，且点P在线段$$CD$$的中点时，探究此时线段$$CD$$，$$AD$$，$$NH$$之间的数量关系，并说明理由．（含图）

（2019春·太原期末）阅读下列材料，完成相应的任务：全等四边形根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一条边相等”或“一个角相等”称为一个条件．智慧小组的同学类比“探索三角形全等条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图1，四边形$$ABCD$$和四边形$$A'B'C'D'$$中，连接对角线$$AC$$，$$A'C$$，这样两个四边形全等的问题就转化为“$$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$$”与“$$\triangle ACD\cong \triangle A'CD'$$”的问题．若先给定$$ABC\cong \triangle A'B'C'$$的条件，只要再增加2个条件使“$$\triangle ACD\cong \triangle A'CD'$$”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等．按照智慧小组的思路，小明对图1中的四边形$$ABCD$$与四边形$$A'B'C'D'$$先给出如下条件：$$AB=A'B'$$，$$\angle B=\angle B'$$，$$BC=BC$$．小亮在此基础上又给出“$$AD=A'D'$$，$$CD=C'D'$$”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形$$ABCD\cong$$四边形$$A'B'C'D'$$” （1）请根据小明和小亮给出的条件，说明“四边形$$ABCD\cong$$四边形$$A'B'C'D'$$”的理由；（2）请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择______题． A．在材料中“小明所给条件”的基础上，小颖又给出两个条件“$$AD=A'D'$$“$$\angle BCD=\angle B'CD'$$”．满足这五个条件______（填“能”或“不能”）得到四边形$$ABCD\cong$$四边形$$A'B'C'D'$$ B．在材料中“小明所给条件”的基础上，再添加两个关于原四边形的条件（要求：不同于小亮的条件），使四边形$$ABCD\cong$$四边形$$A'B'C'D'$$．你添加的条件是①______，②______．【缺少答案，请补充】（含图）

（2018春·太原期末）如图，在$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC=12cm$$，$$BC=9cm$$，点D为AB的中点．设点P以$$3cm/s$$的速度由点B沿BC向点C运动，同时点Q由点C沿CA向点A运动．（1）若点Q与点P的运动速度相等，当$$\triangle BPD\cong \triangle CQP$$时，求点P的运动时间；（2）从A，B两题中任选一题作答． A．在（1）中，试说明$$\angle DPQ=\angle B$$． B．如果点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，在运动过程中是否存在$$\triangle BPD$$与$$\triangle CQP$$全等？若存在，请求出点Q的运动速度与运动的时间；若不存在，请说明理由．【缺少答案，请补充】（含图）

（2017春·太原期末）问题情境：数学活动课上，同学们探究等腰三角形中两条线段的关系：如图1，$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC$$，$$\angle BAC=45^\circ$$，点D是边AC上的一点，且$$DA=DB$$，点P是边AB上一点（不与点B重合），过点P作$$PE\perp BC$$，垂足为点E，交线段BD于点F．线段PF与BE之间存在怎样的数量关系？特例猜想：（1）为探究问题的一般结论，同学们先研究特殊情况：当点P与点A重合时，如图2，小彬猜想得到①$$\triangle ADF\cong \triangle BDC$$；②$$PF=2BE$$．请你判断这两个猜想是否正确，并说明理由；一般探究：（2）通过特例启发，同学们广开思路，进行了如下探究．请从下列A，B两题中任选一题作答：我选择______题： A：如图3，勤学小组发现图1中$$PF=2BE$$也成立．他们的思路是：在图1中的BD上取一点N，使得$$PN=NB$$，延长PN交BC于点M，得到图3，证明了$$\triangle PNF\cong \triangle BNM$$，…．请你根据勤学小组的思路接着完成说明$$PF=2BE$$的过程． B：善思小组探究了更加一般的情况，当图1中的点P运动到线段BA的延长线上，如图4，其余条件不变，发现此时$$PF=2BE$$也成立．他们的思路是：在BD的延长线上取一点N，使得$$PN=NB$$，延长PN交BC的延长线于点M，…．请你根据善思小组的思路说明图4中的$$PF=2BE$$．（含图）

数学活动课上，同学们探究等腰三角形中两条线段的关系：如图1，$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC$$，$$\angle BAC=45^\circ$$，点$$D$$是边$$AC$$上的一点，且$$DA=DB$$，点$$P$$是边$$AB$$上一点（不与点$$B$$重合），过点$$P$$作$$PE\perp BC$$，垂足为点$$E$$，交线段$$BD$$于点$$F$$．线段$$PF$$与$$BE$$之间存在怎样的数量关系？特例猜想：（1）为探究问题的一般结论，同学们先研究特殊情况：当点$$P$$与点$$A$$重合时，如图2，小彬猜想得到①$$\triangle ADF\cong\triangle BDC$$；②$$PF=2BE$$．请你判断这两个猜想是否正确，并说明理由；一般探究：（2）通过特例启发，同学们广开思路，进行了如下探究．请从下列A，B两题中任选一题作答：我选择______题： A：如图3，勤学小组发现图1中$$PF=2BE$$也成立．他们的思路是：在图1中的$$BD$$上取一点$$N$$，使得$$PN=NB$$，延长$$PN$$交$$BC$$于点$$M$$，得到图3，证明了$$\triangle PN F\cong\triangle BNM$$，…．请你根据勤学小组的思路接着完成说明$$PF=2BE$$的过程． B：善思小组探究了更加一般的情况，当图1中的点$$P$$运动到线段$$BA$$的延长线上，如图4，其余条件不变，发现此时$$PF=2BE$$也成立．他们的思路是：在$$BD$$的延长线上取一点$$N$$，使得$$PN=NB$$，延长$$PN$$交$$BC$$的延长线于点$$M$$，…．请你根据善思小组的思路说明图4中的$$PF=2BE$$．【缺少答案，请补充】（含图）

在$$\triangle AOB$$和$$\triangle COD$$中，$$OA=OB$$，$$OC=OD$$，$$\angle AOB=\angle COD$$．【模型呈现】（1）如图1，$$A$$，$$O$$，$$D$$三点共线，试判断$$AC$$与$$BD$$的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，设$$AC$$，$$BD$$相交于点$$P$$，$$AC$$，$$OB$$相交于点$$Q$$，若$$\angle AOB=50^\circ$$，求$$\angle APD$$的度数．【拓展延伸】（3）如图3，$$\angle AOB=\angle COD=90^\circ$$，$$M$$，$$N$$分别为$$AC$$，$$BD$$的中点，连接$$OM$$，$$ON$$，$$MN$$，试说明$$OM=ON$$且$$OM\perp ON$$．【缺少答案，请补充】（含图）

（1）如图1，$$BD$$是$$\text{Rt}\triangle ABC$$的一条角平分线，$$DE\perp AB$$，垂足为$$E$$．你认为$$DE$$与$$DC$$相等吗？并说明理由．方法应用：（2）①如图2，在$$\text{Rt}\triangle ABC$$中，$$\angle A=90^\circ$$，$$BD$$是$$\triangle ABC$$的角平分线，过点$$D$$作$$DE\perp BC$$，若$$AC=8$$，$$CD=5$$，则$$DE$$的长为______． ②如图3，在$$\triangle ABC$$中，$$AD$$为$$\angle BAC$$的平分线，$$DE\perp AB$$于点$$E$$，$$DF\perp AC$$于点$$F$$，若$$\triangle ABC$$的面积是72，$$AB=13$$，$$AC=11$$，求$$DE$$的长．【缺少答案，请补充】（含图）

阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：等边五边形与正五边形（1）等边五边形的定义：平面内五条边相等的五边形叫做等边五边形．正五边形的定义：平面内五条边相等，五个内角也相等的五边形叫做正五边形．（2）概念辨析根据定义我们知道正五边形一定是等边五边形，反之，等边五边形是否是正五边形呢？为了弄清这个问题，同学们拿了五根长度相等的细木条，在同一平面内首尾顺次相接，摆成等边五边形． ①操作判断如图1，笃行小组的同学摆出了一些形状不同的等边五边形，他们通过动手操作发现等边五边形具有不稳定性，从而得出结论：等边五边形不一定是正五边形． ②强化条件笃行小组的同学继续探究发现：等边五边形中若有两个内角相等，则这个等边五边形也不一定是正五边形；如果有三个内角相等呢？他们发现有三个内角相等的等边五边形一定是正五边形．他们的探究思路是：已知等边五边形的三个内角相等，如何说明剩余的两个内角与它们相等呢？在等边五边形$$ABCDE$$中，$$AB=BC=CD=DE=EA$$，若$$\angle A=\angle B=\angle D$$，则等边五边形$$ABCDE$$是正五边形．如图2，于是连接$$BE$$，$$CE$$，发现一对全等三角形 … 这样就可以说明第四个内角与前三个内角相等；同样的道理可得第五个内角也与前三个内角相等； $$\therefore$$等边五边形$$ABCDE$$是正五边形．（3）性质探究笃行小组的同学还发现：等边五边形不一定是轴对称图形，而正五边形一定是轴对称图形； … 任务：（1）请按照笃行小组的探究思路将说理过程补充完整；（2）请你利用无刻度的直尺在图3中画出正五边形$$ABCDE$$的一条对称轴．（保留作图痕迹）【缺少答案，请补充】（含图）

如图1，$$\triangle ABC$$是等边三角形，点$$D$$是$$BC$$边上的任意一点．独立思考：（1）如图2，当点$$D$$是$$BC$$边的中点时，$$AD\perp BC$$，请说明理由；操作思考：（2）如图3，点$$E$$为射线$$AD$$上任意一点，连接$$CE$$，以$$CE$$为边作等边$$\triangle CEF$$，其中点$$E$$，$$F$$在直线$$AC$$同侧，射线$$BF$$交射线$$AD$$于点$$G$$． ①判断$$AE$$与$$BF$$的数量关系，并说明理由； ②当点$$D$$是$$BC$$边的中点时，且在$$\triangle EFG$$中$$\angle GFE=4\angle GEF$$，请直接写出$$\angle GEF$$的度数．【缺少答案，请补充】（含图）

（2024春·芮城县期末）综合与实践问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究. 在$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC$$，直线$$l$$过点$$A$$，点$$D$$，$$E$$是直线$$l$$上两点. 独立思考：（1）如图1，当直线$$l$$在$$\triangle ABC$$的外部，满足$$\angle BDA=\angle CEA=\angle BAC$$时，试探究线段$$BD$$，$$CE$$与$$DE$$之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：（2）如图2，当直线$$l$$经过$$\triangle ABC$$的内部，交$$BC$$于点$$M$$，且$$\angle BAM<\angle CAM$$，满足$$\angle BDM=\angle CEM=\angle BAC$$时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段$$BD$$，$$CE$$与$$DE$$之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当直线$$l$$经过$$\triangle ABC$$的内部，交$$BC$$于点$$M$$，且$$\angle BAM>\angle CAM$$，满足$$\angle BDM=\angle CEM=\angle BAC$$时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段$$BD$$，$$CE$$与$$DE$$之间的数量关系. 【缺少答案，请补充】（含图）（含图）（含图）