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数学方法是在数学活动中，从实践和理论上把握现实，以达到某种目的的途径、手段和方式的总和，为数学问题求解和知识获取提供可能，是数学进展的关键。

联想是思维和记忆的表现形式，是回忆旧知识、发现新知识的重要手段，体现为“举一反三”“由此及彼”“触类旁通”联想的方式主要有以下几种：

联想能力的培养
①重视基础知识，掌握知识之间的纵横联系，注意把已掌握的知识系统化
②既要开展控制联想，也要开展自由联想

（三）归纳法的类型
由于归纳的情况不同，归纳法可按照它所考察的对象是否完全而分为完全归纳法和不完全归纳法两种。
. 完全归纳法
完全归纳法是根据对某类事物的全体对象的考察，发现它们都具有某一种属性，从而得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法。完全归纳法又分为穷举归纳法和类分法两种类型。
（1）穷举归纳法
穷举归纳法是对具有有限个对象的某类事物进行研究时，将它的每个对象逐一进行考察；如果它们都具有某种属性，就得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的归纳推理。穷举归纳法主要适用于当研究的某类事物只包含有限个对象，并且数目较小时候的情况。
（2）类分法
类分法是指对具有无限多个对象的某类事物进行研究时，将这类事物划分为互相排斥且其外延之和等于该类事物的几个子类，并对它们分别进行考察；如果这些子类都具有某些属性，就得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的归纳推理。

（一）类比的原理
类比法就是根据不同的两个对象之间在某些方面相似或相同，从而推出它们在其他方面也可能相似或相同的推理方法.

演绎法又称演绎推理，它是一种逻辑证明的工具，欧几里得几何就是一个严密演绎推理的典范。
演绎法是指从一般性原理推导出特殊性结论的思维方法，也就是从一般到特殊的推理方法

数学史上的三次危机可总结如下：
- 第一次数学危机：源于古希腊毕达哥拉斯学派发现等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约（即\sqrt{2}是无理数），这与他们“万物皆数（整数或整数之比）”的信条相冲突。最终通过承认无理数的存在，建立实数理论得以解决。此次危机促使古希腊数学从重视算术转向重视几何，推动了公理体系的建立。
- 第二次数学危机：因微积分理论建立在含糊不清的无穷小概念上，牛顿流数法推导存在逻辑矛盾，英国大主教贝克莱提出“贝克莱悖论”。后经柯西建立极限理论，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人建立实数理论，使微积分理论严密化，推动了数学分析的发展。
- 第三次数学危机：由集合论自身的矛盾引发，以罗素悖论（如“所有不包含自身的集合所组成的集合是否包含自身”）为代表，冲击了数学基础。通过提出罗素类型论、策梅洛公理集合论等方案解决，推动了数学基础理论的研究，促进了数理逻辑等学科的发展。

用“分析—综合法”写出下题的解题思路：某车间8h加工了360个零件，技术革新后6h就完成了任务。现在要加工7560个零件，将比以前节省多少时间？

如何定义智力是心理学界长期争论的问题，心理学家从不同的侧面对智力——这种人脑的功能的界定不下百种。比较全面的看法是：智力是人类特有的现象，它是个体在孕育、成长实践过程中，在先天遗传因素的基础上，以环境信号为中介，形成的主体认识功能及其调节行为能力水平的一种表现。它是人类认识世界、改造世界的本质力量。000000一个人的认识功能及其调节行为能力的水平，当客观上已经具备但尚未表现出来时，这种潜在的智能我们称为潜智力。人在认识世界和改造世界的活动中，利用语言或操作将这种头脑中潜在的智能表现出来时，在哲学上称为物化智力，也可称之为显智力。可以说人类创造的一切财富都是人的“智力的物化”

在启发式教学中，培养学生数学创造性思维的可操作性措施主要有以下几点：
- 观察试验，引发猜想：通过设计观察试验、猜想命题、找规律的练习，让学生从偶然现象中剥离核心问题，形成创造意识，逐步发展创造性思维。例如观察特定等式，引发关于数学规律的猜想并进行验证。
- 数形结合，萌生构想：适时抓住数形结合的途径，培养学生的创造性想象力。如将代数问题通过图形直观呈现，或从图形角度思考代数问题，像利用等边三角形的面积关系证明不等式。
- 类比模拟，积极联想：从类似事物的启发中得到解题途径，通过模仿、改造类似问题，抽取共性本质，实现创新。例如从线段计数问题类比到锐角、三角形、平行四边形计数问题，提炼出共性的组合数方法。
- 发散求异，多方设想：通过一题多解等方式培养发散思维，沿着不同方向思考，探索新运算、追求多样性，提出新问题、孕育新思想。如蝴蝶定理的多种证法及推广，展现思维的发散性。
- 思维设计，允许幻想：鼓励学生在数学抽象思维中动脑设计、构想程序，锻炼建构能力，甚至允许幻想。如鸡兔同笼问题中“单脚鸡”“双脚兔”的别出心裁解法。
- 直觉顿悟，突发奇想：从模糊估量、整体把握、智力图像等方面创设情境，诱发直觉，使堵塞的思路突然接通。如将不定方程的正整数解个数问题类比为篮球投入筐的间隔插“+”号问题。
- 群体智力，民主畅想：营造良好的数学环境和学习气氛，促进学生之间的横向交流，教师对学生的新想法充分肯定，形成平等民主的讨论氛围。如关于存在两个无理数使它们的幂为有理数的课堂讨论，集思广益得到优美证明。

问题是给定的信息和目标之间有某些障碍需要加以克服的情景。

问题解决的要素主要有：问题表征、问题解决的程序、模式再认。

数学解题是培养思维品质的良好途径，具体表现在如下方面：
（1）在运用知识中，培养思维的深刻性；
（2）围绕知识的统一性，培养思维的广阔性；
（3）在概念的应用中，培养思维的敏捷性；
(4)在辨析、对比中，培养思维的批判性；
(5)通过一题多解、一题多用、一题多变，培养思维的灵活性；
(6)探索创造，培养思维的独创性.

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