同济大学数学系《高等数学》（上册）配套题库【考研真题精选＋章节题库】_在线真题试卷与模拟练习_同济大学数学系《高等数学》（上册）配套题库【考研真题精选＋章节题库】_考试宝

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若，则f（x）第二类间断点的个数为（）。[数二、数三2020研] 2当x→0时，若x－tanx与x

是同阶无穷小，则k＝（）。[数一2019研] 3 3 3 3 3 3已知方程x 5

－5x＋k＝0有3个不同的实根，则k的取值范围（）。[数三2019研] 5 5 5 5 4 5 4设函数

若f（x）＋g（x）在R上连续，则（）。[数二2018研]

若函数在x＝0处连续，则（）。[数一2017研] 6设函数y＝f（x）在（－∞，＋∞）内连续，其导函数的图形如图1-1所示，则（）。[数三2016研]

则k＝______。[数一2018研] －2【答案】由于【解析】故k＝－2。三、解答题 1求曲线y＝x 1＋x /（1＋x） x （x＞0）的斜渐近线方程。[数二2020研] 解：因为从而曲线的斜渐近线方程为y＝x/e＋1/（2 2已知（1＋1/n） n －e与b/n 解：由题意有令1/n＝t，则从而a＋1＝2，－e/（2 3设（Ⅰ）证明：数列{ }单调递减，且＝（n－1） /（n＋2）（n＝2，3，…）；（Ⅱ）求。[数一2019研] 证明：（Ⅰ）对∀x∈[0，1]，都有因此即 ≥ ，数列{ }单调递减，计算可得因此＝（n－1） /（n＋2）（n＝2，3，…）。（Ⅱ）由（Ⅰ）中结果{ }单调递减且＞0，因此有 / ≤ / ≤ / ＝1，故可得根据夹逼准则，有 4已知实数求解：计算如下由题设知故[（a＋bt）

设函数f（x）在区间（－1，1）内有定义，且，则（）[数一2020研]

则x＝0是f（x）的（）。[数一2019研]

曲线y＝xsinx＋2cosx（－π/2＜x＜2π）的拐点是（）。[数二2019研] 5已知方程x 5

－5x＋k＝0有3个不同的实根，则k的取值范围（）。[数三2019研] 5 5 5 5 4 5

设，则＝（）[数三2020研] 3设函数f（x）在（－∞，＋∞）内连续，其中二阶导数f″（x）的图形如图1-3所示，则曲线y＝f（x）的拐点的个数为（）。[数

＝______。[数一2015研] －1/2【答案】可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换。【解析】方法一：方法二：三、解答题 1设函数f（x）在区间[0，2]上具有连续导数，f（0）＝f(　　)＝0，，证明：（1）存在ξ∈（0，2），使得|f′ （ξ）|≥M。(　　)若对任意的x∈（0，2），|f′（x）|≤M，则M＝0。[数一2020研] 证明：（1）由，x∈（0，2），知存在c∈（0，2），使|f 若c∈[0，1]，由拉格朗日中值定理得至少存在一点ξ∈（0，从而若c∈（1，2]，同理存在ξ∈ 从而综上，存在ξ∈（0，2），使|f′（ξ）|≥M。 (　　)若M＞0，则c≠2。由f（0）＝f(　　)＝0及罗尔定理知，存在η∈（0，2），使f′（η）＝0，当η∈（0，c]时，又于是2M＜Mc＋M（2－故M＝0。 2已知，证明：（Ⅰ）存在ξ∈（1，2），使得；（Ⅱ）存在η∈（1，2），使得。[数二2020研] 解：（Ⅰ）令，有F（x）在[1，2]上连续，且F（1）＝f（1）－e＝－e＜0，，由零点定理，存在ξ∈（1，2），使得F（ξ）＝0，即。（Ⅱ）因为f（x）及lnx在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且，所以由柯西中值定理，存在η∈（1，2），使得，即。 3设函数f（x）在区间[0，1]上具有2阶导数，且f（1）＞0，，证明：（Ⅰ）方程f（x）＝0在区间（0，1）内至少存在一个实根；（Ⅱ）方程f（x）f″（x）＋[f′（x）] 2 ＝0在区间（0，1）内至少存在两个不同实根。[数一2017研] 解：（Ⅰ）因为，由函数极限的局部保号性知，存在δ＞0，使得当c∈（0，δ）时，有f 由零点定理知，存在ξ∈ （Ⅱ）构造函数F（x）＝f（x）f′（x）。由，可知又由（Ⅰ）知存在x ∈（0，1）使得f（x ）＝0。由罗尔定理知，存在ξ 1 ∈（0，x ），使得f′（ξ 1 ）＝0，得F（0）＝F（ξ 1 ）＝F（x ）。再由罗尔定理知：存在ξ 2 ∈（0，ξ 1 ），ξ 3 ∈（ξ 1 ，x ），使得F′（ξ 2 ）＝F′（ξ 3 ）＝0，即F′（x）＝f（x）f″（x）＋[f′（x）] 2 ＝0在（0， x ）⊂（0，1）内有两个不同的实根。 4已知方程1/ln（1＋x）－1/x＝k在区间（0，1）内有实根，确定常数k的取值范围。[数三2017研] 解：令f（x）＝1/ln（1＋x）－1/x，则令g（x）＝（1＋x）ln 2 （1＋x）－x 2 ，可得 g′（x）＝ln 2 （1＋x）＋2ln（1＋x）－2x g″（x）＝2[ln（1＋x）－x]/（1＋x）＜0，x∈（0，1）故g′（x）在（0，1）上单调递减，从而x∈（0，1）时，g′（x）＜g′（0）＝0，故g（x）在（0，1）上单调递减，从而x∈（0，1）时， g（x）＜g（0）＝0。因此有f′（x）＜0，可知f（x）在（0，1]上单调递减，从而f（1）＝1/ln2－1。利用等价无穷小和泰勒展开式知则要使得f（x）＝k在（0，1）内必有实根，1/ln2－1＜k＜1/2。第4章不定积分一、选择题已知函数则f（x）的一个原函数是（）。[数一2016研] D【答案】根据题意，f（x）的原函数【解析】因为f（x）在x＝1处连续，则其原函数F（x）在x＝1处也连续，即＝－1＋。令＝0，可得＝1，则为f（x）的一个原函数。

＝（）。[数二2020研] 2 2 3 2 4下列反常积分发散的是（）。[数二2019研] 2 2 1已知函数

设A＞0，D是由曲线段y＝Asinx（0≤x≤π/2）及直线y＝0，x＝π/2所围成的平面区域，V 1 ，V 2 分别是D绕x轴与y轴旋转所成旋转体的体积，若V 1 ＝V 2 ，求A的值。[数二2015研] 解：由旋转体的体积公式，得由V 1 ＝V 2 求得A＝8/π。第7章微分方程一、选择题已知微分方程y″＋ay′＋by＝ce x 的通解为y＝（C 1 ＋C 2 x）e －x ＋e x ，则a，b，c依次为（）。[数二2019研] 2 2 2 1若函数f（x）满足f″（x）＋af′（x）＋f（x）＝0（a＞0），且f（0）＝m，f′（0）＝n， ______。[数一2020研] 2 1 2 1 2

故S △MTP ＝｜MP｜｜PT｜/2＝y·（y/y′）/2＝y 2 /2y′。由题意知，，即，两边对x求导，得，整理得2yy′ 2 ＝3y 2 y″（1）。由已知，得y（0）＝0，y′（x）＞0，故x＞0时，y（x）＞0，则（1）式可化为y′ 2 ＝3yy″/2（2），此方程为可降阶的微分方程，令P＝y′，则（2）式可化为P 2 ＝（3y/2）·PdP/dy，又P＝y′＞0，故由P＝（3y/2）·（dP/dy），解方程，得lnP＝2lny/3＋C 1 ，则P＝C 2 y 2/3 ，其中，即有y′＝C 2 y 2/3 ，分离变量，得dy/y 2/3 ＝C 2 dx，两边积分，得3y 1/3 ＝C 2 x＋C 3 （x＞0）。因y（0）＝0，又y＝f（x）在x＝0处连续，故，得C 3 ＝0，故3y 1/3 ＝C 2 x，即y＝（C 2 /3） 2 x 3 ，令C＝（C 2 /3） 2 ＞0，得y＝ Cx 3 （x＞0），C为大于0的任意常数。 2设函数y（x）是微分方程，满足条件y（0）＝0的特解。（Ⅰ）求y（x）；（Ⅱ）求曲线y＝y（x）的凹凸区间及拐点。[数一2019研] 解：（Ⅰ）利用一阶线性微分方程的求解公式，可得又因为y（0）＝0，代入上式得C＝0，因此（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的可知令y″＝0得x 1 ＝0，再分析y″（x）在点x 1 ，x 2 和x 3 两侧的符号，则有当或时，y″（x）＜0；当或时，y″（x）＞0。因此，曲线的凹区间为和；凸区间为和，拐点为，（0，0），。第二部分章节题库第1章函数与极限一、选择题 1设，则f（x）＝（）。 2设x→x 3“对任意给定的ε∈（0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|x 1 1 1 1 1 4下列极限存在的是（）。 5若，则（）。 6若，则必有（）。 7当x→0时，变量是（）。（1）当x＝1/（2kπ＋π/2）（k＝±1，±2，…）时，则【解析】（2）当x＝1/（2kπ）（k＝±1，±2，…）时，sin（1/x）/x 2 2 8设函数，则点x＝0是f（x）的（）。 9设函数，则下列结论成立的是（）。 10设f（x）为不恒等于零的奇函数，且f′（0）存在，则函数g（x）＝f（x）/x（）。 11设在（－∞，＋∞）上连续，且＝0，则（）。 12下列命题 13设，其中a 2 2 1－cosx＝o（tanx）， 14若（其中a为大于0的常数），则必有（）。 15设f（x）＝2 16已知且在x 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1

都不存在，则（）。 18下列命题中正确的是（）。 19把x→0时的无穷小量，，γ＝arcsinx－x排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无 2 3 20设，，则点x＝0是g[f（x）]（）。 1已知函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数ψ（x）＝f（x＋1）＋f（x－1）的定义域为______。 1≤x≤3【答案】 2设f（x）为（－∞，＋∞）上定义的周期为2的奇函数，且当x∈（2，3）时f（x）＝x 2

若f（x）是奇函数且f′（0）存在，则x＝0是函数F（x）＝f（x）/x的（）。 3若f（x）在x

点处（）。

设，则f′（0）等于（）。